Föreläsning i flervariabelanalys
Derivatamatriser och kedjeregler
I detta kapitel introduceras derivatamatriser och sedan används dem till att härleda en allmän kedjeregel som i sin tur kan användas för att härleda andra mer speciella kedjeregler.
Till föreläsningenFöreläsningens innehåll
En allmän avbildning från ett flerdimensionellt rum till ett annat kan approximeras med en linjär avbildning. Den linjära avbildningen är en matris som består av alla partialderivator till avbildningens komponentfunktioner. När man sätter samman funktioner och ska derivera dem så söker man efter en ny derivatamatris och vill uttrycka den i de ingående avbildningarnas derivatamatriser. Det är detta kedjeregeln ger oss. Mha en allmän kedjeregel så är det möjligt att härleda kedjeregler i olika speciella situationer. Till sist ges en alternativ metod att få fram kedjeregler som är ganska smidig att använda.
Avsnitt i Adams att arbeta med
Kedjeregeln behandlas i Adams 12.5, linjär approximation och derivatamatrisen återfinns i kapitel 12.6
Uppgifter från Adams att räkna
12.5 : 1, 3, 7, 9, 15, 19
12.6: 1, 3, 5
Räkneövningar kopplade till denna föreläsning
- Räkneövning 5 :: Exempel sfären som parameteryta som också är nivåyta
I denna övning studerar vi enhetssfären som är ett konkret exempel på situationen i föregående föreläsning.
- Räkneövning 4 :: Tangentplan för parameterytor
I denna övning visar vi hur parameterytans partialderivator spänner upp tangentplanet. Om parameterytan också är en nivåyta till en funktion så kommer gradienten till denna funktion vara ortogonal mot tangentplanet
- Räkneövning 2 :: Kedjeregeln använd för tangenten och gradienten för en cirkel
Vi visar hur derivatan till en parametrisering av cirkeln och hur gradienten till en funktion som har cirkeln som nivåkurva bidrar till en geometrisk förståelse av cirkeln. Poängen är hur vi använder kedjeregeln för att få fram detta.
- Räkneövning 3 :: Generalisering av cirkelexemplet från Rö 2
I Räkneövning 2 så visade vi att cirkelparametriseringens derivata och nivåkurvefunktionens gradientvektor är ortogonala. I denna övning så visar vi att detta gäller i ett allmännare fall.
- Räkneövning 6 :: Lösning till Adams uppgift 12.5.16
Adams 12.5.16 är en jobbig övning i beräkning av andraderivator till en sammansatt funktion.
- Räkneövning 37 :: Adams 12.5.18
Adams 12.5.18
- Räkneövning 35 :: Adams 12.5.2
kedjeregel
- Räkneövning 39 :: Adams 12.6.8
Adams uppgift 12.6.8 om linjär approximation till en reellvärd funktion
- Räkneövning 40 :: Adams 12.6.20
Adams 12.6.20: linjär approximation för en vektorvärd funktion.
- Räkneövning 36 :: Adams 12.5.10
Adams 12.5.10
Miniföreläsningar kopplade till denna föreläsning
- Miniföreläsning om tangentplan till grafen för en tvåvariabelfunktion::
Till miniföreläsningen
sammanfattning:
miniföreläsning om tangentplan
Lösta problem knutna till denna föreläsning
- Tangentplan för en funktionsgraf::
Svar/lösning
Beräkna tangentplanet till grafen till funktionen \(f(x,y)=x^2-y^2\) i punkten \((1,2,-3)\).
Mathematica dokument för denna föreläsning ::
Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).
| Titel | Derivatamatriser och kedjeregler |
| cdf-fil | cirkelTangentNormal-sta.cdf |
| mathematica fil | cirkelMedDerivataVektor-sta.nb |
| pdf-fil | cirkelMedDerivataVektor-sta.pdf |
Veckoplaneringar :
Terminologi:: En vekka är för en kvartsfartskurs
två vanliga veckor.