Problem i flervariabelanalys

Tangentplan för en funktionsgraf

Detta problem hör ihop med föreläsning

3 :: Derivatamatriser och kedjeregler


Uppgift ::

Beräkna tangentplanet till grafen till funktionen \(f(x,y)=x^2-y^2\) i punkten \((1,2,-3)\).

Svar ::

Planet kan dels skrivas på ekvationsform som \[2x-4y-z=-3\]. Planets parameterform blir \[ \left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}1 \\0 \\2\end{array}\right]s+ \left[\begin{array}{c}0 \\1 \\-4\end{array}\right]t+\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\-3\end{array}\right] \]

Lösning ::

Nyckeln till lösningen av uppgiften ligger i att grafen till en funktion dels lätt kan skrivas som en nivåyta och dels har en väldigt rättfram parametrisering. Grafen till vår funktion är nivåytan \(g=0\) för funktionen \[ g(x,y,z)=x^2-y^2-z \] Denna funktions gradient i vår punkt blir \[ \nabla g|_{(1,2-3)}=(2x,-2y,-1)|_{(1,2-3)}=(2,-4,-1) \] Enligt vad vi lärde oss i Räkneövning 4 så har vi att denna gradientvektor är tangentplanets normalvektor och då ges tangentplanet av ekvationen \[ (2,-4,-1)\bullet (x-1,y-2,z+3)=0\quad \] som ger oss \[ 2x-4y-z=-3 \] Detta är tangentplanets ekvation.
Om vi vill skriva tangentplanet på parameterform så kan vi enligt räkneövning 4 använda partialderivatorna till funktionsgrafens parametrisering men innan vi kan göra det så behöver vi beräkna en sådan parametrisering av funktionsgrafen. Detta är ganska enkelt i vårt fall: sätt \(x=u\) och \(y=v\) och \(z=f(x,y)=f(u,v)=u^2-v^2\): \[ S(u,v)=(u,v,f(u,v))=(u,v,u^2-v^2) \] Partialderivatorna blir därför \[ \begin{split} \frac{\partial S}{\partial u}\Bigg|_{(1,2)}&=\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\2u\end{array}\right]_{(1,2)}=\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\2\end{array}\right] \\ \frac{\partial S}{\partial v}\Bigg|_{(1,2)}&=\left[\begin{array}{c}0 \\1 \\-2v\end{array}\right]_{(1,2)} =\left[\begin{array}{c}0 \\1 \\-4\end{array}\right] \end{split} \] Detta ger oss att tangenplanet genom vår punkt blir \[ \left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}1 \\0 \\2\end{array}\right]s+ \left[\begin{array}{c}0 \\1 \\-4\end{array}\right]t+\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\-3\end{array}\right] \]
Veckoplaneringar :

Terminologi:: En vekka är för en kvartsfartskurs
två vanliga veckor.

Kursinformation :
Miniföreläsningar
Föreläsningar
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Räkneövningar
Kategorier