Lecture 3:: Derivatamatris och kedjeregler

2

Lecture :: Derivatamatris och kedjeregler
sammanfattning

Denna föreläsning introducerar begreppet partialderivata och går genom hur man beräknar den. Vi visar också hur man räknar ut högre ordningens derivater och kommenterar speciellt att de blandade partialderivatorna är lika.





Läsanvisningar::
Avsnitt i kursboken
Detta material svarar mot Adams Kapitel 12.5 och 12.6
Linjär approximation i flera variabler
Linjär funktion
En linjär avbildning från \(\mathbb{R}^n\) till \(\mathbb{R}^m\) är en \(m\times n\)-matrix En allmän (icke linjär) funktion \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) ges av vektorfunktionen med de \(m\) stycken komponentfunktionerna \(f_i(\mathbf{x})\), \(i=1,\dots m\): \[ F:\mathbb{R}^n\ni\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\mapsto(f_1(\mathbf{x}),\dots,f_m(\mathbf{x}))\in\mathbb{R}^m \] Varje komponentfunktion \(f_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) förutsätts tillräckligt kontinuerligt deriverbara och har därför partialderivator m.a.p. varje variabel \(x_i\). Alla partialderivator uträknade i en viss punkt \(\mathbf{a}=(a_1,\dots,a_n)\) till alla komponentfunktioner kan på ett snyggt sätt ställas upp i en Derivata matris: \[ D_F|_{\mathbf{a}}=\left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial{f_1}}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial{f_1}}{\partial x_n} \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ &&\\ \frac{\partial{f_m}}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial{f_m}}{\partial x_n} \end{array} \right]_{\mathbf{a}} \] där alla derivatorna är uträknade i \(\mathbf{a}\). Denna matris är \(F\)'s linjärisering i den aktuella punkten i den mening att \[ F(\mathbf{x})\approx F(\mathbf{a})+D_F|_{\mathbf{a}}(\mathbf{x}-\mathbf{a}),\quad\text{ där }\quad\mathbf{x}-\mathbf{a}= \left[\begin{array}{c}x_1-a_1 \\\vdots\\x_n-a_n\end{array}\right] \]
Övning i att beräkna derivata matrisen

Övning 1::

Beräkna derivatamatrisen till funktionen \(f(x,y)=e^{5x+y^2}\) i punkten \((2,3)\).

Lösning ::

Vår funktion har endast en komponentfunktion och dess partialderivator blir \[ \frac{\partial f}{\partial x}=5e^{5x+y^2},\quad\frac{\partial f}{\partial y}=2ye^{5x+y^2} \] Räknar vi ut dessa derivator i vår punkt \((x,y)=(2,3)\) så får vi att derivatamatrisen blir \[ DF|_{(2,3)}=[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}]_{(2,3)}= [5e^{19},6e^{19}] \] Notera: derivatamatrisen för en sådan funktion kommer senare att kallas för gradienten till funktionen och har speciell betydelse för funktionens tillväxtegenskaper.

Övning 2::

Givet avbildningen \(F(x,y)=(x^2y,3xy)\) beräkna derivatamatrisen i punkten \((a,b)=(1,2)\).

Lösning ::

Vi har att \[F(x,y)=(\underbrace{x^2y}_{f_1(x,y)},\underbrace{3xy}_{f_2(x,y)})\] Vi ska beräkna alla partialderivator till komponentfunktionerna \[ \frac{\partial f_1}{\partial x}=2xy,\quad\frac{\partial f_1}{\partial y}=x^2,\quad \frac{\partial f_2}{\partial x}=3y,\quad\frac{\partial f_2}{\partial x}=3x,\quad \] Om vi räknar ut dessa partialderivator i \((x,y)=(1,2)\), dvs sätter in dessa värden på \(x\) och \(y\) in i uttrycken för derivatorna så får vi den önskade derivatamatrisen \[ DF|_{(1,2)}= \left[ \begin{array}{cc} 4&1\\ 6&3 \end{array} \right] \]
Video :: linjär approximation och derivatamatrisen
Video :: Linjär approximation allmänna fallet.
Kedjeregeln
I envariabelanalys lärde vi oss att derivera sammansatta funktioner med den s.k. kedjeregeln \[ \frac{d}{dx}g(f(x))=g'(f(x))\cdot f'(x) \] I de kommande videofilmerna i denna föreläsning så ska vi utveckla en allmän kedjeregel för derivering av allmänna funktioner mellan flerdimensionella rum och härleda några speciella fall. Om \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) och \(G:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p\) så kan vi bilda den sammansatta avbildningen \(G\circ F(\mathbf{x})\). Då gäller följande samband för derivatamatriserna \[ G\circ F(\mathbf{x})|_\mathbf{a}=DG|_{F(\mathbf{a})}\cdot DF|_{\mathbf{a}} \]

Övning 3 ::

Beräkna derivatan till funktionen \[ h(x)=\sin x^3 \]

Lösning ::

Om \(g(x)=\sin x\) och \(f(x)=x^3\) så har vi att \(h(x)=g(f(x))\) och då får vi m.h.a. kedjeregeln: \[ h'(x)=g'(f(x))f'(x)=(\cos x^3)\cdot 3x^2=3x^2\cos x^3 \]
Video :: Den allmänna kedjeregeln
Första specialfallet av kedjeregeln
I detta fall har vi en funktion av två variabler \(f(x,y)\) sammansatt med en funktion \(c:\mathbb{R}\ni t\mapsto (x(t),y(t))\in\mathbb{R}^2\) så att vi får funktionen \(z=f(x(t),y(t))=f\circ c(t)\). I videon på nästa sida härleds formeln \[ \frac{dz}{dt}\Bigg|_{t=a}=\frac{\partial z}{\partial x}\Bigg|_{c(a)}\cdot\frac{dx}{dt}\Bigg|_a+\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg|_{c(a)}\cdot\frac{dy}{dt}\Bigg|_a \] Denna kedjeregel kan ni hitta i Adams 12.5, sidan 694 i Adams Ed7.

Övning 4::

Beräkna derivatan m.a.p. \(t\) uträknad i \(t=0\) av \(z=f\circ c(t)\), där \(f(x,y)=x^2+y^2\) och \(c(t)=(\cos t, \sin t)\)

Lösning ::

I detta fall får vi att \[ z(t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1 \qquad\text{ pga trigonometriska ettan! } \] Deriverar vi detta m.a.p \(t\) så får vi naturligtvis \(0\). Om vi använder ovanstående kedjeregel så har vi \[ \begin{split} \frac{dz}{dt}\Bigg|_{t=0}&=\frac{\partial z}{\partial x}\Bigg|_{(1,0)}\cdot\frac{dx}{dt}\Bigg|_0+\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg|_{(1,0)}\cdot\frac{dy}{dt}\Bigg|_0=\\ &=\underbrace{-2x|_{(1,0}}_{=-2}\underbrace{\sin t|_0}_{=0}+\underbrace{2y|_{(1,0)}}_{=0}\underbrace{\cos t|_0}_{=1}=0 \end{split} \] I detta fall blev det alltså enklare att sätta ihop de båda explicit och derivera än att använda kedjeregeln. Men många andra fall så kan den metoden vara mer arbetskrävande och då ger kedjeregeln en framkomlig väg.
Video :: Ett första specialfall av kedjeregeln
(Se även Adams Ed 7 sid 694)
Ett andra specialfall
Andra specialfallet

I detta fall har vi en funktion \(f(x,y)\) och en avbildning \(S:(s,t)\mapsto S(s,t)=(x(s,t),y(s,t))\) och så bildar vi sammansättningen \[z(s,t)=f\circ S(s,t)=f(x(s,t),y(s,t))\]. Den nya kedjeregeln hjälper oss nu att beräkna partialderivatorna av \(z\) map \(s\) och \(t\) uträknade i en viss punkt \((s,t)=(a,b)\): \[ \begin{split} \frac{\partial z}{\partial s}\Bigg|_{(a,b)}&= \frac{\partial z}{\partial x}\Bigg|_{S(a,b)}\frac{\partial x}{\partial s}\Bigg|_{(a,b)}+ \frac{\partial z}{\partial y}\Bigg|_{S(a,b)}\frac{\partial y}{\partial s}\Bigg|_{(a,b)}\\ \frac{\partial z}{\partial t}\Bigg|_{(a,b)}&= \frac{\partial z}{\partial x}\Bigg|_{S(a,b)}\frac{\partial x}{\partial t}\Bigg|_{(a,b)}+ \frac{\partial z}{\partial y}\Bigg|_{S(a,b)}\frac{\partial y}{\partial t}\Bigg|_{(a,b)} \end{split} \] Notera att \(\partial z/\partial x=\partial f/\partial x\) och\(\partial z/\partial y=\partial f/\partial y\).
Video :: Specialfall 2 (se Adams sid 695)
Alternativ metod att komma fram till kedjeregler
Enklare (?) metod ::

I nästa video presenteras en metod som i många fall är enklare när man ska beräkna derivator för sammansatta funktioner av flera variabler. Metoden bygger på ett variabelberoendeträd i vilket man kan söka ut rätt partialderivator.
Video :: Alternativ kedjeregelmetod