Flervariabelanalys

Likt situationen i envariabelanalys så kommer andraderivatan in vid klassificering av kritiska punkter. Eftersom vi har flera variabler att derivera med avseende på så får vi en matris med andraderivator. Egenskaper för denna avgör om vi har max, min eller sadelpunkt.
Denna föreläsning handlar om

1. Denna föreläsning börjar med en repetition från envariabelanalysen om hur man där klassificerade kritiska punkter mha av andraderivatan.
2. Vi definierar en kritisk punkt som en punkt där gradienten är noll.
3. Vi visar att Taylorutvecklingen säger att i en kritisk punkt så bestäms funktionens beteende i första hand av andraderivatan. Detta beroende av andraderivatan kan beskrivas mha av en matris av funktionens andraderivator. Denna matris kallas Hessianen.
4. Andraderivatatestet använder determinanten till Hessianen samt dess element i första raden och förstakolonnen för att klassificera en kritisk punkt.

Lösta problem för denna föreläsning ::

1. Hitta och klassificera alla kritiska punkter till funktionen \(f(x,y)=x^2y(2-x-y)\)

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil
HessianExempel	ExempelHessianen.cdf	ExempelHessianen.nb	ExempelHessianen.pdf

Lagrange multiplikatormetod hjälper oss att lösa maximi/minimiproblem när vi är max/min punkterna är tvingade att uppfylla ett extra bivillkor.
I denna föreläsning går vi igenom Lagranges multiplikatormetod. Denna metod är användbar när den funktion som sak maximeras/minimeras givet ett extra villkor. Ett exempel kan vara att vi söker minsta avstånd till origo från en viss nivåyta till en viss funktion. Dessa problem kan ofta vara svåra att lösa med mera direkta metoder och då erbjuder Lagrangemetod ett alternativ.

Föreläsningen motiverar metoden utifrån ett exempel. Formulerar sedan metoden och löser sedan exemplet med metoden. Sist ges ett ytterligare exempel (som är en tolkning av Adams uppgift 13.3.18)

Lösta problem för denna föreläsning ::

1. Ett postföretag levererar bara paket i form av rektangulära lådor med midja och höjd uppfyller vissa villkor. Midjan är omkretsen av ett horisontellt tvärsnitt. (Se figur nedan) Vilkoret som paketet måste uppfylla är att summan av midjan och paketets höjd får vara högst 120 cm. Beräkna den största volym som en sådan låda kan ha.

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil

Vi introducerar dubbelintegralen och visar hur den kan beräknas m.h.a. upprepad envariabelintegration.
Föreläsningen behandlar

1. Integralen \(\iint_A f(x,y)dxdy\) summerar infinitesimala rätblock \(f(x,y) dx dy\) över ett område \(A\subset\mathbb{R}^2\)
2. Integralen tolkas som upprepad enkelintegrering så att om \(A\) är rektangeln \(\{a\leq x\leq b, c\leq y\leq d\}\) så blir integralen \[\int_c^d\left[\int_a^b f(x,y)dx\right]. dy\] Dvs vi integrerar först den inre integralen m.a.p. \(x\) och sedan den yttre m.a.p. \(y\).
3. Rektanglar är lättast att integrera över. Men vi behöver metoder som hjälper oss när vi har mer komplicerade områden. Här lär vi oss hur man integrerar över ett område som är begränsat av funktionsgrafer.
4. Generaliserade integraler :: improper integrals: När integrationsområdet blir obegränsat eller om \(f(x,y)\) blir obegränsad i någon punkt i integrationsområdet så behöver man utvidga integralens definition för att hantera detta. Sådana integraler reduceras till integral över en mängd där integralen blir ändlig och sedan tar man ett gränsvärde.

Lösta problem för denna föreläsning ::

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil