Denna föreläsning visar hur man räknar ut dubbelintegraler framförallt mha upprepad envariabelintegrering. Något om generaliserade integraler gås också igenom
Lecture 8 :: Introduktion till multippelintegrering
8
Lecture :: Multippelintegrering
sammanfattning
Läsanvisningar::
- Avsnitt i kursboken
- Detta material svarar mot Adams Kapitel 14.1-14.3
Dubbelintegralen
Beskrivning av dubbelintegralen
Dubbelintegralen
\[
\iint_A f(x,y)dA
\]
summerar små infinitesimala element \(f(x,y)dA\).
\(dA\) tolkar vi som ett litet areaelement (oftast så har vi att \(dA=dxdy\) som då är en infinitesimal rektangel) taget från området \(A\subset \mathbb{R}^2\) multiplicerat med \(f(x,y)\), oftas tolkat som en höjd. Det infinitesimala elementet är alltså en area gånger en höjd och blir således ett volymselement. Integralen summerar alltså sådana volymselement och beräknar därför en volym.
Utmaningen vid beräkning av multippelintegraler ligger, förutom den vanliga svårigheten att hitta primitiva funktioner, i att hitta en beskrivning av området vi integrerar över så att multippelintegralen kan skrivas som en upprepad enkelintegral, en för varje variabel.
\(dA\) tolkar vi som ett litet areaelement (oftast så har vi att \(dA=dxdy\) som då är en infinitesimal rektangel) taget från området \(A\subset \mathbb{R}^2\) multiplicerat med \(f(x,y)\), oftas tolkat som en höjd. Det infinitesimala elementet är alltså en area gånger en höjd och blir således ett volymselement. Integralen summerar alltså sådana volymselement och beräknar därför en volym.
Utmaningen vid beräkning av multippelintegraler ligger, förutom den vanliga svårigheten att hitta primitiva funktioner, i att hitta en beskrivning av området vi integrerar över så att multippelintegralen kan skrivas som en upprepad enkelintegral, en för varje variabel.
Video :: Introduktion till multippelintegraler
Dubbelintegralen som upprepad enkelintegrering.
Upprepad enkelintegrering
I videon på nästa sida så kommer vi ge en beskrivning av vad som (mer abstrakt) skulle kunna skrivas som \[ \iint_A f(x,y)dy=\int_y \underbrace{\left[\int_{A_x}f(x,y) dx\right]}_{A_x=A\cap\{y\text{ konst }\}} dy \] Den inre integralen integreras först och den sker över \(A_x=A\cap\{y\text{ konst }\}\) som är ett linjesegment genom \(A\). Ovanför detta segment så är \(f(x,y)\) en funktion av \(x\) eftersom vi håller \(y\) konstant. Denna inre integral kommer då bero av \(y\) och detta tar vi hand om senare i den yttre integralen där vi integrerar map \(y\).
Vi kommer titta på ett par typer av områden där denna uppdelning av integralerna blir naturlig. Enklaste fallet är när \(A\) är en rektangel som vi stuerar på sidorna 6 och 7.
I videon på nästa sida så kommer vi ge en beskrivning av vad som (mer abstrakt) skulle kunna skrivas som \[ \iint_A f(x,y)dy=\int_y \underbrace{\left[\int_{A_x}f(x,y) dx\right]}_{A_x=A\cap\{y\text{ konst }\}} dy \] Den inre integralen integreras först och den sker över \(A_x=A\cap\{y\text{ konst }\}\) som är ett linjesegment genom \(A\). Ovanför detta segment så är \(f(x,y)\) en funktion av \(x\) eftersom vi håller \(y\) konstant. Denna inre integral kommer då bero av \(y\) och detta tar vi hand om senare i den yttre integralen där vi integrerar map \(y\).
Vi kommer titta på ett par typer av områden där denna uppdelning av integralerna blir naturlig. Enklaste fallet är när \(A\) är en rektangel som vi stuerar på sidorna 6 och 7.
Video :: integrering med upprepad enkelintegrering
Exempel på upprepad integrering över en rektangel
Övning 1::
Skriv integralen \[I=\iint_A x^2y \ dA,\] som upprepade enkelintegraler,
där \(A\) är rektangeln \[\{1\leq x\leq 2,\ 3\leq y\leq 4\}\]
Lösning ::
\[
I=\int_3^4\left[\int_1^2 x^2y dx\right] dy\quad\text{eller}\quad I=\int_1^2\left[\int_3^4 x^2y dy\right] dx
\]
Detta exempel löser vi i videon på nästa sida.
Video :: Exempel: integration över en rektangel.
Exempel :: integration över ett område begränsat av funktionsgrafer
Övning 2 ::
Skriv integralen \[I=\iint_A x^2y \ dA,\] som upprepade enkelintegraler,
där \(A\) denna gång är mängden \(\{3\leq x\leq 4, 0\leq y\leq x\} \) som visas
i bilden nedan.
Lösning ::
\[
I=\int_3^4\left[\int_0^x x^2y\ dy\right] dx
\]
Idéer för hur man går till väga finns på nästa video.
Video :: integrering över område begränsat av funktionsgrafer.
Video :: Exempel: Adams 14.2.4
Generaliserad integral
Idéer från envariabelanalysen::
En generaliserad integral är en integral där antingen integranden eller integrationsområdet är oändligt (eller både och). När detta inträffar så behöver man tolka om integralen.
Från envariabelanalysen känner vi igen \[ \begin{split} \int_1^\infty \frac{dx}{x} &\triangleq\lim_{R\to\infty}\int_1^R \frac{dx}{x}= \lim_{R\to\infty}\left[\ \ln x\ \right]_1^R=\\&\\&\\ &=\lim_{R\to\infty} \ln R =+\infty \end{split} \] Tecknet \(\triangleq\) betyder att det som står till vänster definieras av det som står till höger. Det är detta som är generaliseringen. Integralen generaliseras till att klara av oändliga intervall.
Vi har också följande integral som visar hur integralen kan generaliseras till att klara av en integrand som blir oändlig i en punkt i integrationsområdet: \[ \begin{split} \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}} &\triangleq\lim_{r\to 0}\int_r^1\frac{dx}{\sqrt{x}}= \lim_{r\to 0}\left[2\sqrt{x}\ \right]_r^1=\\&\\&\\ &=\lim_{r\to 0} 2\sqrt{1}-2\sqrt{r}=2 \end{split} \] Notera alltså att problemet ligger i att integrationsmängden innehåller \(0\) där funktionen \(1/\sqrt{x}\) inte är definierad. Därför måste vi tolka integralen över intervallet \([0,1]\) som det angivna gränsvärdet.
En generaliserad integral är en integral där antingen integranden eller integrationsområdet är oändligt (eller både och). När detta inträffar så behöver man tolka om integralen.
Från envariabelanalysen känner vi igen \[ \begin{split} \int_1^\infty \frac{dx}{x} &\triangleq\lim_{R\to\infty}\int_1^R \frac{dx}{x}= \lim_{R\to\infty}\left[\ \ln x\ \right]_1^R=\\&\\&\\ &=\lim_{R\to\infty} \ln R =+\infty \end{split} \] Tecknet \(\triangleq\) betyder att det som står till vänster definieras av det som står till höger. Det är detta som är generaliseringen. Integralen generaliseras till att klara av oändliga intervall.
Vi har också följande integral som visar hur integralen kan generaliseras till att klara av en integrand som blir oändlig i en punkt i integrationsområdet: \[ \begin{split} \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}} &\triangleq\lim_{r\to 0}\int_r^1\frac{dx}{\sqrt{x}}= \lim_{r\to 0}\left[2\sqrt{x}\ \right]_r^1=\\&\\&\\ &=\lim_{r\to 0} 2\sqrt{1}-2\sqrt{r}=2 \end{split} \] Notera alltså att problemet ligger i att integrationsmängden innehåller \(0\) där funktionen \(1/\sqrt{x}\) inte är definierad. Därför måste vi tolka integralen över intervallet \([0,1]\) som det angivna gränsvärdet.
Video :: Generaliserade integraler
(Eng: Improper integrals)
(Eng: Improper integrals)
Video :: Exempel: generaliserad integral
Adams: 14.3.4
Adams: 14.3.4