Föreläsning 6 :: Min/Max och andraderivatatestet

Lecture :: Min/Max o Andraderivatatestet

sammanfattning

Denna föreläsning visar hur andraderivatatestet fungerar för funktioner av två variabler.

Läsanvisningar::

Avsnitt i kursboken: Detta material svarar mot Adams Kapitel 13.1. I denna föreläsning går vi genom Thm 3 men poängterar formuleringarna som står i Remark efter Exempel 6, snarare än att hänvisa till matrisegenskapen positiv definit osv, som används i satsens formulering.

Min max och andraderivatatestet :: envariabelanalys

Andraderivatatestet Från envariabelanalys bör man känna till att minimi och maximipunkter ofta påträffas i kritiska punkter dvs punkter där derivatan är noll. För att avgöra om en kritisk punkt är ett max eller minimum så kan man använda andraderivata testet Om \(f'(a)=0\) så har vi att \[ \begin{split} f''(a)&>0\Rightarrow f\text{ har ett minimum i } x=a\\ f''(a)&<0\Rightarrow f\text{ har ett maximum i } x=a\\ f''(a)&=0 \Rightarrow \text{ ingen slutsats kan dras: } f\text{ kan ha max och } f \text{ kan ha min eller varken eller } \end{split} \]

Övning 1::

\(x=0\) är kritisk punkt för \(x^2\), \(x^3\) och \(x^4\). Om det är möjligt så använd andra derivata testet för att klassificera den kritiska punkten. I annat fall dra en slutsats utifrån andra egenskaper för funktionerna.

Lösning ::

Andra derivatan till \(x^2\) blir \(2\) och därför så ger andraderivatatestet att funktionen har ett minimum i origo.

För \(x^3\) så blir andraderivatan \(6x\) och vi får noll i origo. Andraderivatatestet ger oss alltså ingenting. Eftersom förstaderivatan är positiv \(3x^2\) både till höger och till vänster om origo så förstår vi att funktionen faktiskt växer och origo blir en terrasspunkt. Detta stämmer med bilden vi får om vi ritar upp den.

För \(x^4\) så är andraderivatan \(12x^2\) och eftersom andraderivatan är noll i origo så gäller även i detta fall att andraderivata inte möjliggör någon slutsats. Men funktionen har ändå ett tydligt minimum i origo. (Detta kan motivieras från förstaderivatan \(4x^3\) som byter tecken i origo vilket är en indikation om att funktionen växlar från avtagande till växande vilket är ett kännetecken för en funktion med ett minimum.)

Video :: Andraderivatatesten för envariabelfunktioner.

Kritiska punkter och gradienten

Definition av kritisk punkt

Givet en funktion \(f(x,y)\) så säger vi att \((a,b)\) är en kritisk punkt för \(f\) om vi har att \[ \nabla f|_{(a,b)}=(0,0). \] Grafen till funktionen \(f\) sammanfaller med nivåytan \(g=0\) till trevariabelfunktionen \(g(x,y,z)=f(x,y)-z\). Gradienten till denna funktion är en normalvektor för nivåytan, dvs en normalvektor till ytans tangentplan i den aktuella punkten. Tangentplanet till grafen ovanför den kritiska punkten har alltså normalvektorn \[ \begin{split} \nabla g|_{(a,b)} &=(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z})_{(a,b)}= (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1)|_{(a,b)}\\ &\\&\\ &=(0,0,-1) \end{split} \] Detta innebär att i en kritisk punkt så är funktionsgrafens tangentplan parallellt med \((x,y)\)-planet.

Övning 2::

Beräkna kritisk punkt för funktionen \[f(x,y)=(x-1)^2-(y+1)^2\] och beräkna en normalvektor för tangenplanet i den kritiska punkten.

Lösning ::

Vi får att gradienten till \(f\) blir \[ \nabla f=(2(x-1),-2(y+1)) \] Gradienten blir uppenbarligen noll om \((x,y)=(1,-1)\) så detta är vår kritiska punkt. Funktionens graf sammanfaller med nivåytan \(g=0\), där \(g(x,y,z)=f(x,y)-z\) så normalvektor till tangentplanet i en punkt \(x,y,z)\) blir \[ \nabla g=(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}) =(2(x-1),-2(y+1),-1) \] I punkten \((1,-1)\) så har vi normalvektorn \(\nabla g|_{(1,-1)}=(0,0,-1)\).

Video :: Kritiska punkter och min/max i flera variabler.

Definition av Hessianen

Givet en funktion av två variabler \(f(x,y)\) så definierar vi Hessianen \(H_f\) som matrisen med andraderivator till \(f\), dvs \[ H_f|_{(a,b)}= \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial^2 {f}}{\partial x^2} &\frac{\partial^2{f}}{\partial y\partial x}\\ \frac{\partial^2{f}}{\partial x\partial y}&\frac{\partial^2{f}}{\partial y^2} \end{array} \right]_{(a,b)}= \left[ \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} \end{array} \right]_{(a,b)} \] Notera att vi i denna kurs förutsätter att alla andraderivator är kontinuerliga och då får vi att de blandade andraderivatorna är lika så att Hessianmatrisen blir en symmetrisk matris.

Övning 3 ::

Beräkna Hessianen till funktionen \[f(x,y)=(x-1)^2-(y+1)^2\]

Lösning ::

Vi beräknar alla andraderivator och sätter in dem i en \(2\times 2\)-matris: \[ H_f= \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & -2 \end{array} \right] \] Hessianen för denna funktion blir alltså en konstant matris (den beror inte på \(x\) och \(y\) ).

Video :: Hessianen :: matrisen med alla andraderivator.

Hessianen och klassificering av kritiska punkter

Låt \(f(x,y)\) vara en minst två gånger kontinuerligt deriverbar funktion och låt \((a,b)\) vara en kritisk punkt till \(f\). Låt \(H|_{(a,b)}\) vara Hessianen till \(f\) uträknad i \((a,b)\). Vi kommer ihåg att \(f_{xx}\) är dubbla andraderivatan av \(f\) m.a.p. \(x\) och är det första elementet i första raden i Hessianmatrisen. Då har vi att

Om \(\quad\det H|_{(a,b)}<0\quad\) så är \((a,b)\) en sadelpunkt.
Om \(\quad\det H|_{(a,b)}>0\quad\) och \(f_{xx}>0\) så är \(a,b)\) ett lokalt minimum.
Om \(\quad\det H|_{(a,b)}>0\quad\) och \(f_{xx}<0\) så är \(a,b)\) ett lokalt maximum
Om \(\quad\det H|_{(a,b)}=0\quad\) så kan ingen slutsats dras.

Övning 4 ::

Klassificera den kritiska punkten till funktionen \[f(x,y)=(x-1)^2-(y+1)^2.\]

Lösning ::

I föregående övning beräknades hessianen till denna funktion: \[ H_f= \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & -2 \end{array} \right] \] Determinanten för denna matris är \(\det H=-4<0\) vilket alltså betyder att funktionens kritiska punkt är en sadelpunkt

Video :: Hessianen och andraderivatatestet.