Problem i flervariabelanalys

Min max uppgift

Detta problem hör ihop med föreläsning

6 :: Andraderivatatestet för klassificering av kritiska punkter


Här är problemet i pdf-format:

http://www.flervariabelanalys.se/arkiv/pdf/T-20140813-uppgift1.pdf

Problemet fanns med på tentamen 20140813

Uppgift ::

Hitta och klassificera alla kritiska punkter till funktionen \(f(x,y)=x^2y(2-x-y)\)

Svar ::

Om \(x=0\) så har vi, för alla \(y\), en obestämbar (degenererad) kritiska punkt (en hel linje). Dessa är maxima om \(y<0\) och om \(y>2\). Minima om \( y\in (0,2) \) och sadelpunkter om \(y=0\) och om \(y=2\). \((2,0)\) är en sadelpunkt och \((1,1/2)\) är ett maximum.

Lösning ::

Vi beräknar derivatorna: \[ \begin{split} \frac{\partial f}{\partial x} &=-x y (3 x+2 y-4)\\ \frac{\partial f}{\partial y} &=-x^2 (x+2 y-2) \end{split} \] Vi får att \( (0,y)\) är kritisk punkt för alla värden på \(y\). Om \(y=0\) så får vi \(x=2\) från faktorn \(x+2y-2\) så \((2,0)\) är kritisk punkt. För \(x\neq 0\neq y\) så gäller att båda faktorerna \(3x+2y-4\) och \(x+2y-2\) måste vara noll vilket leder tillpunkten \((1,1/2)\) är en kritisk punkt. Vi klassificerar punkterna med hjälp av andraderivatatestet. Låt oss börja med att beräkna andraderivatorna \[ \begin{split} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &=-2 y (3 x+y-2)\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &=-2 x^2\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} &=-x (3 x+4 y-4) \end{split} \] Vi sammanställer resultatet från andraderivatatestet i följande tabell.: Kritiska punkterna \((0,y)\) ligger på den svarta linjen och vi har att funktionen är konstant på denna linje. Detta gör att vi på den svarta linjen inte har strikta max, min eller sadelpunkter. Tittar man noggrant så ser vi att för varje fixt \(y\) så är andra derivatan map \(x\) lika med \(2y(2-y)\) och denna derivata är positiv om \(02\). För varje fixt \(y\) så ger andraderivatatestet i en variabel så ger detta att vi har minimum där derivatan är positiv och max där derivatan är negativ. Men max och min i detta fall är inte helt strikt eftersom funktionen är konstant längs linjen \((0,y)\). Det är detta som degenererad betyder i detta fall. Kritiska punkterna är minima mellan de två svarta punkterna. Utanför har vi maxima. I de svarta gränspunkterna \((0,0)\) och \((0,2)\) har vi sadelstruktur eftersom funktionens värden ökar i vissa riktningar och avtar i andra. Den röda punkten är \((2,0,0)\) (sadel) och den blå är \((1,1/2,1/4)\) (max).}
Veckoplaneringar :

Terminologi:: En vekka är för en kvartsfartskurs
två vanliga veckor.

Kursinformation :
Miniföreläsningar
Föreläsningar
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Räkneövningar
Kategorier