Problem i flervariabelanalys

Beräkning av partialderivata

Detta problem hör ihop med föreläsning
0 :: Från förkunskaper till flervariabelanalys

Uppgift ::

Beräkna partialderivatorna till funktionen \(f(x,y)=x^2y^3+xy^2\).

Svar ::

\(\frac{\partial f}{\partial x}=y^2(2xy+1)\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=xy(3xy+2)\)

Lösning ::

För att beräkna partialderivatan med avseende på \(x\) så håller vi \(y\) konstant och deriverar som vanligt m.a.p. \(x\) \[ \frac{\partial f}{\partial x}=2xy^3+y^2=y^2(2xy + 1) \] För att beräkna partialderivatan m.a.p. \(y\) så håller vi i stället \(x\) fix och deriverar på vanligt sätt m.a.p. \(y\): \[ \frac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2+2xy=xy(3xy+2) \]

Enkla partialderivator

Detta problem hör ihop med föreläsning
0 :: Från förkunskaper till flervariabelanalys

Uppgift ::

Beräkna partialderivatorna \(\frac{\partial f}{\partial x}\) och \(\frac{\partial f}{\partial y}\) till funktionen \(f(x,y)=x^2y+3x^3y^5\)

Svar ::

\(\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+9x^2y^5\) och \(\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+15x^3y^4\)

Lösning ::

För att beräkna \(\frac{\partial f}{\partial x}\) så håller vi \(y\) konstant och deriverar som vanligt i envariabel-mening. För att beräkna \(\frac{\partial f}{\partial y}\) så gör vi tvärt om: håll \(x\) konstant och derivera med avseende på \(y\).

test av no related lectures

Detta problem är ännu inte kopplad till någon viss föreläsning

Uppgift ::

beskrivning

Svar ::

svar

Lösning ::

lösning

En enkel dubbelintegral

Detta problem hör ihop med föreläsning
0 :: Från förkunskaper till flervariabelanalys

Uppgift ::

Beräkna dubbelintegralen \[ I= \int_0^2\int_1^2 xy dx dy \]

Svar ::

Integralens värde är 3

Lösning ::

Vi tolkar integralen som en upprepad enkelintegrering och beräknar den inre integralen med avseende på \(x\) först. Därefter fortsätter vi genom att integrera med avseende på \(y\), som är den yttre integralen: \[ \begin{split} I&=\int_0^2y\underbrace{\left[\int_1^2 x dx\right]}_{=\underbrace{\frac{x^2}{2}|_1^2}_{=3/2}}dy\\ &=\frac{3}{2}\underbrace{\int_0^2 ydy}_{=\frac{y^2}{2}|_0^2}=\frac{3}{2}\cdot[\frac{4}{2}-0]=\frac{6}{2}=3 \end{split} \]

Andra ordningens partialderivor

Detta problem hör ihop med föreläsning
2 :: Om Partialderivatan

Uppgift ::

Beräkna alla andra ordningens partialderivator till funktionen \[ f(x,y)=\ln(x^2+y^2) \]

Svar ::

\[ \begin{split} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=\frac{2(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2},\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=\frac{2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2},\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&=\frac{(-4xy)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \end{split} \]

Lösning ::

Vi börjar med att beräkna första ordningens partialderivator: \[ \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{(x^2+y^2)},\quad\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{(x^2+y^2)},\quad \] Sedan beräknar vi dessa derivators partialderivator och får \[ \begin{split} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2}\\ \end{split} \]

Fler sidor :: 1 2 >

Veckoplaneringar :

Terminologi:: En vekka är för en kvartsfartskurs
två vanliga veckor.

Kursinformation :
Miniföreläsningar
Föreläsningar
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Räkneövningar
Kategorier