Problem i flervariabelanalys
Beräkning av partialderivata
Detta problem hör ihop med föreläsning
0 :: Från förkunskaper till flervariabelanalys
Uppgift ::
Beräkna partialderivatorna till funktionen \(f(x,y)=x^2y^3+xy^2\).
Svar ::
\(\frac{\partial f}{\partial x}=y^2(2xy+1)\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=xy(3xy+2)\)
Lösning ::
För att beräkna partialderivatan med avseende på \(x\) så håller vi \(y\) konstant och deriverar som vanligt m.a.p. \(x\)
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy^3+y^2=y^2(2xy + 1)
\]
För att beräkna partialderivatan m.a.p. \(y\) så håller vi i stället \(x\) fix och deriverar på vanligt sätt m.a.p. \(y\):
\[
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2+2xy=xy(3xy+2)
\]
Enkla partialderivator
Detta problem hör ihop med föreläsning
0 :: Från förkunskaper till flervariabelanalys
Uppgift ::
Beräkna partialderivatorna \(\frac{\partial f}{\partial x}\) och \(\frac{\partial f}{\partial y}\) till funktionen \(f(x,y)=x^2y+3x^3y^5\)
Svar ::
\(\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+9x^2y^5\) och \(\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+15x^3y^4\)
Lösning ::
För att beräkna \(\frac{\partial f}{\partial x}\) så håller vi \(y\) konstant och deriverar som vanligt i envariabel-mening.
För att beräkna \(\frac{\partial f}{\partial y}\) så gör vi tvärt om: håll \(x\) konstant och derivera med avseende på \(y\).
test av no related lectures
Detta problem är ännu inte kopplad till någon viss föreläsning
En enkel dubbelintegral
Detta problem hör ihop med föreläsning
0 :: Från förkunskaper till flervariabelanalys
Uppgift ::
Beräkna dubbelintegralen
\[
I= \int_0^2\int_1^2 xy dx dy
\]
Svar ::
Integralens värde är 3
Lösning ::
Vi tolkar integralen som en upprepad enkelintegrering och beräknar den inre integralen med avseende på \(x\) först. Därefter fortsätter vi genom att integrera med avseende på \(y\), som är den yttre integralen:
\[
\begin{split}
I&=\int_0^2y\underbrace{\left[\int_1^2 x dx\right]}_{=\underbrace{\frac{x^2}{2}|_1^2}_{=3/2}}dy\\
&=\frac{3}{2}\underbrace{\int_0^2 ydy}_{=\frac{y^2}{2}|_0^2}=\frac{3}{2}\cdot[\frac{4}{2}-0]=\frac{6}{2}=3
\end{split}
\]
Andra ordningens partialderivor
Detta problem hör ihop med föreläsning
2 :: Om Partialderivatan
Uppgift ::
Beräkna alla andra ordningens partialderivator till funktionen
\[
f(x,y)=\ln(x^2+y^2)
\]
Svar ::
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=\frac{2(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2},\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=\frac{2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2},\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&=\frac{(-4xy)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}
\end{split}
\]
Lösning ::
Vi börjar med att beräkna första ordningens partialderivator:
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{(x^2+y^2)},\quad\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{(x^2+y^2)},\quad
\]
Sedan beräknar vi dessa derivators partialderivator och får
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2}\\
\end{split}
\]
Veckoplaneringar :
Terminologi:: En vekka är för en kvartsfartskurs
två vanliga veckor.