Lecture 9 :: Trippelintegraler

9

Lecture :: Trippelintegraler
sammanfattning

I denna föreläsning visas hur man beräknar en trippelintegraler över områden som är enkla med avseende på en eller flera av variablerna. I t.ex. ett z-enkelt område så är alla punkters z-koordinat begränsad av graferna till två funktioner av x och y. Föreläsningen visar hur man utnyttjar detta för att beräkna trippelintegralen över ett sådant område.





Läsanvisningar::
Avsnitt i kursboken
Detta material svarar mot Adams Kapitel 14.5
Trippelintegrering över en box.
Trippelintegrering över en rektangulär låda
För att beräkna integralen \[ \iiint_B F(x,y,z) dV,\quad\text{ där }\quad B=\{a\leq x\leq b, c\leq y\leq d, u\leq z \leq v\} \] så gör man upprepad enkelintegrering över varje variabel för sig: \[ \int_u^v\int_c^d\int_a^b F(x,y,z) dxdydz. \] Ordningen spelar i princip ingen roll och man är fri att välja ordningen så att integreringen blir så enkel som möjligt

Övning 1::

Beräkna integralen \[ \iiint_B xyz\ dV,\quad\text{ där }\quad B=\{0\leq x\leq 1, -2\leq y\leq 0, 1\leq z \leq 4\} \] (Detta är adams 14.5.2)

Lösning ::

Integralen blir \(-15/2\).
Detta exempel räknas i videon på nästa sida.
Video :: Trippelintegral över en Låda ::
Adams 14.5.2
Integration över halvenkla områden
z-enkelt område

Ett område \(\Omega_z\) är z-enkelt om det finns två funktioner \(f(x,y)\) och \(g(x,y)\) och ett område \(A\) i \(xy\)-planet så att \[ \Omega_z=\{(x,y,z):(x,y)\in A, f(x,y)\leq z\leq g(x,y)\}. \] Området \(\Omega_z\) ligger alltså ovanför \(A\) och mellan graferna till funktionerna \(f(x,y)\) och \(g(x,y)\).
För ett z-enkelt område så kan trippelintegralen av en funktion \(F(x,y,z)\) skrivas \[ \iiint_{\Omega_z} F(x,y,z) dV=\iint_A \underbrace{\int_{f(x,y)}^{g(x,y)} F(x,y,z)\ dz}_{=H(x,y)} dA \] Den inre integralen m.a.p. z "integrerar bort" z och kvar får vi en funktion \(H(x,y)\). Den yttre integralen är nu en dubbelintegral och vi måste då beskriva området \(A\) på ett lämpligt sätt så att vi kan utföra denna dubbelintegralintegral enligt de metoder vi har lärt oss.

Övning 2::

Skriv området \(\Omega\) som begränsas av koordinatplanen och planet \(x+y+z=1\) som ett z-enkelt område. Området visas i nedanstående figur.

Lösning ::

Tredje variabeln z är begränsad enligt \[0\leq z\leq 1-x-y.\] Området ligger ovanför \(A\) som är triangeln med hörnen \[(0,0,0),\ (1,0,0)\ \text{ och }\ (0,1,0).\] Området \(A\) kan alltså skrivas som \[ A=\{0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1-x\} \] vilket gör att en trippelintegral över området kan skrivas \[ \iiint_\Omega F(x,y,z)dV= \int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y}F(x,y,z)dzdydx \]
Video :: Integration över halvenkla områden.
Exempel integrering över z-enkelt område

Övning 3 ::

Beräkna trippelintegralen \[ I=\iiint_\Omega x\ dV \] där \(\Omega\) är området i övning 2.

Lösning ::

Börja skriva området som z-enkelt, precis som i övning 2. Man får då \[ I=\iiint_\Omega x\ dV= \int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y}x\ dzdydx \] Adams 14.5.4, som vi räknar i nästa video, beräknar detta i ett allmännare fall. Vårt fall får vi när \(a=b=c=1\) och integralen blir därför \(1/24\)
Video :: Adams 14.5.4
Exempel Trippelintegrering

Övning 4 :: (Adams 14.5.7)

Beräkna andra trippelintegralen \[ \iiint_R xy+z^2\ dV, \] där \(R=\{(x,y,z):0\leq z\leq 1-|x|-|y|\}\)

Lösning ::

Detaljerna visas i videon på nästa sida. Några viktiga punkter i lösningen:
  1. Dela upp integralen och integrera \(xy\) och \(z^2\) var för sig.
  2. Integralen över \(xy\) blir noll p.g.a. symmetri
  3. Integralen över \(z^2\) kan reduceras till fyra gånger integralen över \[ \{x\geq 0,y\geq 0,0\leq z\leq 1-x-y\}. \]
  4. Man utnyttjar att \[ |x|= \begin{cases} \ \ \ x& \text{ om } x\geq 0\\ -x& \text{ om } x< 0\\ \end{cases} \]
Video :: Adams 14.5.7