Låt \(F=(y,z,x)\), \(D\) skivan \(x^2+z^2\leq a^2\) med randkurvan \(x^2+z^2=a^2\) orienterad medurs om vi ser på kurvan från positiva delen av y-axeln. Verifiera Stokes sats genom att explicit beräkna båda sidornas integraler.

Randkurvan parametriseras med \(r(t)=(a\cos t, 0, a\sin t)\) och ger rätt orientering. Vi har då att \(dr=(-a\sin t, 0, a\cos t)\). På denna kurva så blir fältet \(F\): \[ F|_C=(0,a\sin t, a\cos t)\quad\Rightarrow\quad F\bullet dr=a^2\cos^2 t \] Linjeintegralen blir därför \[ \int_C F\bullet dr=\int_0^{2\pi} a^2\cos^2 t dt=r^2\left[\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t\right]_0^{2\pi}= \pi a^2, \] där vi utnyttjat en integrationsformel för \(\cos^2 t\) (se bakre insidan av Adams Pärm) Nu koncentrerar vi oss på dubbelintegralen.

Vi har att \(\nabla\times F=(1,-1,1)\). Cirkelskivans normalvektor blir \((0,-1,0)\) eftersom orienteringen ska vara kompatibel med randkurvans orientering. I våra polära koordinater så är \(dS=rdrdt\) och integralen blir därför \[ \iint_D (\nabla\times F)\bullet N dS=\int_0^{2\pi}\int_0^a 1\cdot r dr dt=\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}dt= \frac{a^2}{2}\cdot 2\pi=\pi a^2 \] Vi har visat att de båda sidorna av Stokes sats blir lika och därför verifierat Stokes sats för denna situation.