Gör Adams 15.6.1 mha divergenssatsen.

Vi har att \(\mathbf{F}=(x,z,0)\) och då får vi att \(\nabla\bullet\mathbf{F}=1\) vilket ger \[ \begin{split} \iint_S \mathbf{F}\bullet N dS&=\iiint_V \underbrace{\nabla\bullet\mathbf{F}}_{=1} dV=\\ &=\text{ volymen av tetraedern }= \frac{6\cdot 3\cdot 2}{6}=6 \end{split} se även videon på nästa sida! \]

Låt \(\mathbf{F}=(-y,x,0)\). Beräkna integralen \[ \frac{1}{\pi\epsilon^2}\int_{C_\epsilon} \mathbf{F}\bullet dr, \] där \(C_\epsilon)\) är cirkeln centrerad i origo med radie epsilon. Vad blir integralen gränsvärde då \(\epsilon\to 0^+\)?
Vad blir \(N\bullet\nabla\times\mathbf{F}\), där \(N\) är enhetsnormal till cirkelskivan som ger positiv orientering av kuran

Parametrisera cirkeln med \(r(t)=(\epsilon\cos t,\epsilon\sin t)\). Man får att \(dr=(-\epsilon\sin t,\epsilon\cos t)dt\). Med denna parametrisering får vi att \[ \begin{split} \frac{1}{\pi\epsilon^2}\int_{C_\epsilon} \mathbf{F}\bullet dr&= \frac{1}{\pi\epsilon^2}\int_0^{2\pi}(-\epsilon\sin t,\epsilon\cos t)\bullet(-\epsilon\sin t,\epsilon\cos t)dt=\\ &=\frac{1}{\pi\epsilon^2}\int_0^{2\pi}(\epsilon^2\sin^2 t+\epsilon^2\cos^2 t)dt=\\ &=\frac{1}{\pi\epsilon^2}\int_0^{2\pi} r^2dt=\frac{1}{\pi\epsilon^2}\cdot \epsilon^2\cdot2\cdot \pi=2, \end{split} \] Denna integral är alltså oberoende av \(\epsilon\) och gränsvärdet blir således \(2\). Vi får också att \[ \nabla\times\mathbf{F}=(0,0,2) \] Om kurvan har positiv orientering så får vi att cirkelskivans normal blir \(N=(0,0,1)\). Vi får därför att \[ N\bullet\nabla\times\mathbf{F}=2 \] Det är ingen slump att dessa två saker blir lika...

Fortsätt med situationen beskriven i övning 3. Beräkna nu

1. \[\int_{C_\epsilon} \mathbf{F}\bullet dr\]
2. \[\iint_{B_\epsilon} \nabla\times F\bullet N dS,\] där \(B_\epsilon\) är cirkelskivan \(x^2+y^2\leq\epsilon\)

1. Från övning 3 har vi att integralen blir \(2\pi\epsilon^2\)
2. Övning 3 ger oss också att \((\nabla\times F)\bullet N=2\).
   I polära koordinater har vi att \(dS=rdrd\theta\) vilket ger att integralen blir \[ \iint_{B_\epsilon} \nabla\times F\bullet N dS=2\int_0^{2\pi}\int_0^\epsilon r dr d\theta= r^2\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi \epsilon^2. \]

Att de två integralerna är lika är en konsekvens av Greens sats som vi pratar om på nästa video.
Man ska notera att ett tvådimensionellt vektorfält \(F=(F_1(x,y),F_2(x,y))\) kan betraktas som ett tredimensionellt vektorfält \(F=(F_1,F_2,0)\) och då får vi att \[ \nabla\times F=(0,0,\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}) \] vilket ger att \[ \nabla\times\mathbf{F}\bullet N=\nabla\times\mathbf{F}\bullet (0,0,1)=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \] där vi utnyttjat att ett område i planet har vi normalriktningen \(N=(0,0,1)\).