Övning 2::
Beräkna det infinitesimala ytelementet till
grafen för funktionen \(f(x,y)\).
Lösning ::
Parametriseringen använder \(x\) och \(y\) som parametrar och blir
\[
r(x,y)=(x,y,f(x,y))
\]
ytelementet blir
\[
\begin{split}
dS&=||\frac{\partial r}{\partial x}\times \frac{\partial r}{\partial y}|| dx dy=\\
&=||(1,0,\frac{\partial f}{\partial x})\times(0,1,\frac{\partial f}{\partial y})||dx dy
=||(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1)|| dx dy=\\
&=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1\ }\ \ dx dy
\end{split}
\]