Lecture 13 :: Parameterytor och ytintegraler

13

Lecture :: partialderivatan
sammanfattning

Denna föreläsning introducerar parameterytor och dess ytelement. Man lär sig hur man beräknar arean av en parameteryta samt hur man beräknar en mer allmän ytintegral. En vanlig funktionsyta kan ockaå tolkas som parameteryta och föreläsningen visar hur man beräknar ytintegraler över funktionsgrafer.





Läsanvisningar::
Avsnitt i kursboken
Detta material svarar mot Adams Kapitel 15.5
Uppgifter ::
3, 7, 9, 13, 15
observera att uppgift 1 i tidigare planeringar utgår och ersätts med uppgift 3.
Definition av Parameteryta
Parameteryta
En parameteryta är en funktion \(r:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^n\). Om \(n=3\) så skriver vi \[ r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \] En graf till en funktion \(f(x,y)\) har en naturlig parametrisering \[ r(x,y)=(x,y,f(x,y)) \] Det är inte svårt att se att detta ger samma mängd som grafen \(G_f\) till \(f\), som ju är punktmängden \(G_f=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=f(x,y)\}\)

Övning 1::

Konstruera en parametrisering till grafen till funktionen \(f(x,y)=x+\sin y\)

Lösning ::

Parametriseringen använder \(x\) och \(y\) som parametrar och blir \[ r(x,y)=(x,y,x+\sin y) \]
Video :: Introduktion parameterytor.
Areaelementet
Parameteryta
Givet en parameteryta \(S\) i \(\mathbb{R}^3\) med parametrisering \[ r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \] så ges det infinitesimala ytelementet av \[ dS=||\frac{\partial r}{\partial u}\times \frac{\partial r}{\partial v}|| du dv \] Arean av ytan ges av \[ \iint_S dS=\iint_S ||\frac{\partial r}{\partial u}\times \frac{\partial r}{\partial v}|| dudv \] En allmän ytintegral av funktionen \(H(x,y,z)\) ges av \[ \iint_S H dS=\iint_S H(r(u,v))||\frac{\partial r}{\partial u}\times \frac{\partial r}{\partial v}|| dudv \]

Övning 2::

Beräkna det infinitesimala ytelementet till
grafen för funktionen \(f(x,y)\).

Lösning ::

Parametriseringen använder \(x\) och \(y\) som parametrar och blir \[ r(x,y)=(x,y,f(x,y)) \] ytelementet blir \[ \begin{split} dS&=||\frac{\partial r}{\partial x}\times \frac{\partial r}{\partial y}|| dx dy=\\ &=||(1,0,\frac{\partial f}{\partial x})\times(0,1,\frac{\partial f}{\partial y})||dx dy =||(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1)|| dx dy=\\ &=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1\ }\ \ dx dy \end{split} \]
Video :: Areaintegrering och ytintegralen
Video :: Exempel :: Härledning av arean av en sfär.
Video :: Exemel på beräkning av arean av en funktionsgraf.