Lecture 12 :: Vektorfält

12

Lecture :: Vektorfält
sammanfattning

Denna föreläsning introducerar begreppet skalärfält och vektorfält. En del av fokus ligger på konservativa vektorfält, potentialfunktioner och flödeslinjer. Vi lär oss hur man integrerar över vektorfält, något som hjälper oss att beräkna det arbete som krävs för att en partikel ska röra sig längs en viss bana. Att konservativitet medför att integreringen är oberoende av vägen diskuteras också.





Läsanvisningar::
Avsnitt i kursboken
Detta material svarar mot Adams Kapitel 15.1, 15.2 och 15.3
Vad är ett fält?
Fält i planet
Ett fält är något som tilldelar en egenskap i varje punkt i planet. Denna egenskap kan i princip vara vad som helst. Det kan i ett fall vara fotgrafier i google maps tagna och knutna till en viss plats (gps koordinater) Till GPS koordinaterna kan man också knyta information som hör ihop med platsen, restauranger, hotel, information om boende på den aktuella koordinaten. Geografiska iformationssystem GIS är också exempel på sådana allmänna fält. Dessa är exempel på informationsfält. Sådana fält är oftast diskreta och två närbelägna punkter kan ha extremt skilld information
De fält som vi ska studera är enklare.
Skalärfälten knyter en skalär, dvs ett tal till varje punkt. Exempel här är temperaturfördelningar, tryckvariationer eller höjd över havet. Skalärfälten ges oftast av reellvärda funktioner och dessa förutsätts variera kontinuerligt. De är t.o.m. kontinuerligt deriverbara och detta innebär att närbelägna punkter har besläktade egenskaper.
Vektorfält :: Vektorfälten tilldelar en vektor, dvs en riktning i varje punkt. Exempel här är vindriktningar för luft och vattenströmmar, kraftfält som gravitaionsfält eller elektromagnetiska fält.
Video :: Introduktion till skalärfält och vektorfält
Strömningslinjer :: go with the flow...
Go with the flow.

Lägg dig i en vattenström och släpp taget. Du kommer då att följa en flödeslinje/strömningslinje.

Pilarna i nedanstående bild anger flödeslinjer till fältet \(F=\nabla\phi\) där \[ \phi(x,y)=x\sin(x+y)+y\cos x \]
Video :: Introduktion till strömningslinjer
Exempel på flödeslinjeberäkning

Övning 1 ::

Beräkna flödeslinjerna till fältet \(F(x,y)=(-y,x)\)

Lösning ::

Flödeslinjer kommer tangera vektorfältet i varje punkt. Linjens parametrisering \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\) hjälper oss att beskriva kurvans tangent som \[ r'(t)=(x'(t),y'(t)) \] Denna vektor är parallell med fältet om \[\frac{dx}{dt}=-ky\] och \[\frac{dy}{dt}=kx\] Vi löser ut \(k\cdot dt\) från båda dessa ekvationer och sätter dem lika: \[ k\cdot dt=-\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x} \] Den sista likheten kan skrivas om som \[ -xdx=ydy\quad\text{integrering ger}\quad-x^2/2=y^2/2+C \] Och detta ger oss \(x^2+y^2=-2C\) som är cirklar
(åtminstone för \(C<0\)).
Video :: Exempel på strömningslinjeberäkning.
Konservativa fält
Ett vektorfält \(F\) är konservativt om det finns en potentialfunktion \(\phi\) sådan att \(F=\nabla \phi\). Eftersom en funktions blandade andra derivator måste vara lika så följer det att \[ \frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial y} \] och så vidare för de övriga komponenterna. Man kan visa att villkoret i tre dimensioner kan skrivas som \[ \nabla\times F=\mathbf{0} \]

Övning 2::

Visa att \(\nabla\times F=0\) då \(F=(yz,xz,xy)\). Är fältet konservativt? I princip behöver man beräkna potentialfunktionen.

Lösning ::

Att \(\nabla\times F=0\) följer enkelt. För att hitta potentialfunktionen så gör vi så utnyttjar vi att en sådan har att \(\nabla\phi=F\) som ger oss \[ \partial\phi/\partial x=yz \quad\Rightarrow\quad \phi=xyz+C(y,z) \] Deriverar vi denna med avseende på \(y\) så får vi \[ xz+\partial C/\partial y =F_2=xz\quad\Rightarrow\quad \partial C/\partial y=0 \] som innebär att \(C(y,z)\) är konstant m.a.p. \(y\) dvs \(C\) är en funktion av \(z\) Deriverar vi \(\phi\) m.a.p. \(z\) så får vi \[ \partial\phi/\partial z=xy+dC/dz=xy\quad\Rightarrow\quad dC/dz=0 \] som ger att \(C=\text{ konst}\) Vi har därför att vår potentialfunktion blir \[ \phi(x,y,z)=xyz+\text{ konst}. \]
Video :: Villkor för konservativa fält.
Video :: Exempel på konservativa fält
Fältlinjer och potentialkurvor är ortogonala.
Video ::Linjeintegraler
Video :: Exempel på linjeintegralberäkning
Oberoende av väg.
Video :: Om ett fält är oberoende av väg
så är det konservativt och har egenskapen att
integralen av varje sluten kurva blir noll