En partikel rör sig i en cirkulär bana med parametriseringen \[ r(t)=(5\cos t, 5\sin t) \] Beräkna partikelns position, hastighet och accelleration då \(t=\pi/2\)

Positionen är \[r(\pi/2)=(0,5)\]
Hastigheten blir \[ v(t)=(-5\sin t,5\cos t)|_{\pi/2}=(-5,0) \] och accellerationen blir \[ a(t)=(-5\cos t,-5\sin t)|_{\pi/2}=(0,-5) \]

Beräkna en parematrisering av grafen till \(f(x)=\sin x\)

Grafens parametrisering blir \[ r(t)=(t,\sin t) \]

Beräkna längden av grafen till funktionen \(y = \frac{x^2}{2}\) från \(0\) till \(1\).

Parametriseringen av grafen ges av \(r(t)=(t,\frac{t^2}{2})\). Vi får att \(r'(t)=(1,t)\), \(||r'[t]||=\sqrt{1+t^2}\), och längden blir därför \[ \begin{split} \int_0^1 \sqrt{1+t^2} dt &=\text{ knepig integral }=\\ &=\left[\frac{t}{2}\sqrt{1+t^2}+\frac{1}{2}\ln(t+\sqrt{1+t^2})\right]_0^1=\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\ln [ 1+\sqrt{2} ] \end{split} \] Den knepiga integralen löste jag mha formelsamling (t.ex. Adams Bakre Pärminsida). Jag har upptäckt att denna integral dyker upp på några ställen, t.ex. i en av de rekommenderade uppgifterna i kapitel 15. Jag har därför gjort en räkneövning (RÖ 19) som härleder denna formel, även om detta, strikt sett, är ett problem från envariabelanalysen.

Beräkna längden av en cirkel. Härled alltså formeln för cirkelns omkrets genom att integrera över ett varv på cirkeln med den vanliga parametriseringen.

Cirkeln med radien \(r\) har parametriseringen \[ c(t)=( r\cos t, r\sin t) \] Vi får att \(||c'(t)||=r\) och därför blir längdintegralen \[ \int_0^{2\pi} r\cdot dt = \left[ r\cdot t\right]_0^{2\pi}=2\pi r \]

Beräkna längden av ett varv av helixkurvan med parametriseringen \[ H(t)=(a\cos t, a\sin t, b\cdot t) \]

Vi har att \[ \begin{split} ||H'(t)|| &=||(-a\sin t, a\cos t, b)||=\\ &= \sqrt{a^2(\sin^2 t+\cos^2 t) +b^2}=\\ &=\sqrt{a^2+b^2} \end{split} \] Detta ger att längdintegralen blir \[ \int_H ds=\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2} dt =\left[ \sqrt{a^2+b^2}\cdot t\right]_0^{2\pi} =2\pi\sqrt{a^2+b^2} \]

Beräkna längden av ellipsen \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

Man behöver först hitta en parametrisering. Om man utgår från parametriseringen av en cirkel så kan vi göra en modifiering som ger oss en parametrisering \(E(t)=(x(t),y(t))\) av ellipsen: \[ \begin{split} x &=a\cos t\\ y &=b\sin t \end{split} \] Vi får att \[ \begin{split} ||E'(t)|| &=\sqrt{a^2\sin^2 t+ b^2\cos^2 t}=\sqrt{ a^2\sin^2 t+b^2(1-\sin^2)}=\\ &=\sqrt{b^2+(a^2-b^2)\sin^2 t}= b\sqrt{1-\left[\underbrace{\frac{b^2-a^2}{b^2}}_{=K^2}\right]\sin^2 t}=\\ &=b\sqrt{1-K^2\sin^2 t} \end{split} \] Detta ger därför att längden beräknas enligt \[ b\int_0^{2\pi} \sqrt{1-K^2\sin^2 t}=\text{ elliptisk integral "of the second kind" } \] som är en integral som inte kan uttryckas med elementära funktioner.
Läs mer om elliptiska integraler här

Beräkna arean av den den del av cylindern \(x^2+y^2=1\) som ligger ovanför \(z=0\) men under planet \(y=z\)

Vi har en cirkelbåge \(c(t)=(\cos t, \sin t)\), \(0\leq t\leq \pi\). Höjden bestäms tydligen av \(y\) och arean kan då beräknas med integralen \[ \int_0^\pi y\ ds= \int_0^\pi \sin t \ dt=-\cos t|_0^\pi =2 \] där vi noterar att \(y\) på kurvan heter \(\sin t\) tack vare vår parametrisering.