Övning 2 ::
Beräkna hur mycket avbildningen
\[T:
\begin{cases}
x&=&r\ \cos \theta\\
y&=&r\ \sin\theta\\
\end{cases}
\]
förstorar en infinitesimal area i närheten av \((r,\theta)=(2,\pi/2)\)
Lösning ::
I en viss punkt \((r,\theta)\) så kan avbildningen linjäriseras. Linjäriseringen
ges av avbildningens matris
\[
T'=\left[
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -r\sin\theta \\
\sin\theta & r\cos\theta \\
\end{array}
\right]
\]
I närheten av vår punkt \((2,\pi/2)\) så har vi matrisen
\[
T'|_{(2,\pi/2)}
\left[
\begin{array}{cc}
\cos\pi/2 & -2\sin\pi/2 \\
\sin\pi/2 & 2\cos\pi/2 \\
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -2 \\
1 & 2 \\
\end{array}
\right]
\]
Eftersom vår avbildning kan linjäriseras nära vår punkt så kan vi förvänta oss att
areaändringen vid denna punkt ges av linjäriseringen, dvs av den nyss beräknade matrisen
och blir därför
\[|\det T'|_{(2,\pi/2)}|=2\]
I en allmän punkt så blir den lokala areaförstoringen på samma sätt
\[
\left|\det\left[
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -r\sin\theta \\
\sin\theta & r\cos\theta \\
\end{array}
\right]\right|=r
\]
Denna idé, att derivatamatrisen kontrollerar den lokala areaförändringen för en allmän avbildning, är central för variabelbyten i dubbel och trippelintegraler.