Lecture 10 :: Variabelbyte i multippelintegraler

10

Lecture :: Variabelbyte i multippelintegraler
sammanfattning

Denna föreläsning visar hur man arbetar med variabelbyten i dubbel och trippelintegraler. Fokus ligger på de polära, cylindriska och sfäriska koordinatbytena som ger exempel på hur man utför variabelbyten i allmänhet och exemplen visar att ett variabelbyte kan göra integrationen enklare.





Läsanvisningar::
Avsnitt i kursboken
Detta material svarar mot Adams Kapitel 14.4 och 14.6
En övning från Linjär algebra

Övning 1 ::

Beräkna Arean av det parallellogram som vektorerna \[ (1,2)\text{ och } (2,7) \] spänner upp

Lösning ::

Ställ upp vektorerna som kolonner i en matris \[M= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 7 \end{array} \right] \] Beloppet av determinanten av denna matris ger oss den efterfrågade arean: \[ \det M=1\cdot 7 -2\cdot 2=3 \]
Video :: Matrisavbilningens areaförstorning.
Lokal areaförändring för allmän avbildning.

Övning 2 ::

Beräkna hur mycket avbildningen \[T: \begin{cases} x&=&r\ \cos \theta\\ y&=&r\ \sin\theta\\ \end{cases} \] förstorar en infinitesimal area i närheten av \((r,\theta)=(2,\pi/2)\)

Lösning ::

I en viss punkt \((r,\theta)\) så kan avbildningen linjäriseras. Linjäriseringen ges av avbildningens matris \[ T'=\left[ \begin{array}{cc} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \\ \end{array} \right] \] I närheten av vår punkt \((2,\pi/2)\) så har vi matrisen \[ T'|_{(2,\pi/2)} \left[ \begin{array}{cc} \cos\pi/2 & -2\sin\pi/2 \\ \sin\pi/2 & 2\cos\pi/2 \\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right] \] Eftersom vår avbildning kan linjäriseras nära vår punkt så kan vi förvänta oss att areaändringen vid denna punkt ges av linjäriseringen, dvs av den nyss beräknade matrisen och blir därför \[|\det T'|_{(2,\pi/2)}|=2\] I en allmän punkt så blir den lokala areaförstoringen på samma sätt \[ \left|\det\left[ \begin{array}{cc} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \\ \end{array} \right]\right|=r \] Denna idé, att derivatamatrisen kontrollerar den lokala areaförändringen för en allmän avbildning, är central för variabelbyten i dubbel och trippelintegraler.
Video :: Areaförstorning i variabelbyte
Variabelbyte i dubbelintegral :: formel
Givet ett variabelbyte \[T: \begin{cases} x&=&x(u,v)\\ y&=&y(u,v) \end{cases} \] så kan trippelintegralen av \(F\) över en area \(A\) beräknas enligt \[ \iiint_A F(x,y) dV=\iiint_{A^*} F(x(u,v),y(u,v))|det T'| du\ dv, \] där \(T(A^*)=A\)
Video :: Variabelbyte i dubbelintegral
Beräkning av variabelbyte

Övning 3 ::

Givet koordinatbytet \[T: \begin{cases} x&=&u-v\\ y&=&2u-v\\ \end{cases} \] beräkna variabelbytets derivatamatris och beräkna \(dA\)

Lösning ::

Detaljerna visas i följande video. Här är svaret: \[ T'=\left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -1 \\ \end{array} \right] \] Detta ger oss \[ dA=|det T'| du\ dv= 1\cdot du\ dv=du\ dv \]
Video :: Exempel på variabelbyte i dubbelintegral.
Byte till polära koordinater

Övning 4 ::

Givet bytet till polära koordinater \[T: \begin{cases} x&=&r\ \cos \theta\\ y&=&r\ \sin\theta\\ \end{cases} \] beräkna derivatamatrisen \(T'\) och hur arean \(dA\) transformeras

Lösning ::

\[ T'=\left[ \begin{array}{cc} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \\ \end{array} \right] \] Volymselementet blir \[ dV=|\det T'|\ dr\ d\theta= r\ dr\ d\theta \]
Video :: Exempel variabelbyte : polära koordinater.
Variabelbyte i trippelintegral :: formel
Givet ett variabelbyte \[T: \begin{cases} x&=&x(u,v,w)\\ y&=&y(u,v,w)\\ z&=&z(u,v,w) \end{cases} \] så kan trippelintegralen av \(F\) över en volym \(V\) beräknas enligt \[ \iiint_V F(x,y,z) dV=\iiint_{V^*} F(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|det T'| du\ dv\ dw, \] där \(T(V^*)=V\)
Video :: Variabelbyte i trippelintegraler.
Cylindriskt koordinatbyte

Övning 5 ::

Givet det cylindriska koordinatbytet \[T: \begin{cases} x&=&r\ \cos \theta\\ y&=&r\ \sin\theta\\ z&=&z \end{cases} \] Beräkna derivatamatrisen \(T'\) och hur volymen \(dV\) transformeras

Lösning ::

Detaljerna visas i följande video. Här är svaret: \[ T'=\left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 &0 & 1\ \end{array} \right] \] Volymselementet blir \[ dV=|\det T'|\ dr\ d\theta\ dz= r\ dr\ d\theta\ dz \]
Video :: Cylindreiskt variabelbyte i trippelintegral.
Sfäriskt koordinatbyte

Övning 6 ::

Givet det sfäriska koordinatbytet \[T: \begin{cases} x&=&r\ \sin\phi\ \cos \theta\\ y&=&r\ \sin\phi\ \sin\theta\\ z&=&r\ \cos\phi \end{cases} \] Beräkna derivatamatrisen \(T'\) och hur volymen \(dV\) transformeras

Lösning ::

Derivatamatrisen för det sfäriska koordinatbytet blir \[ T'= \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \sin\phi\ \cos\theta & r\ \cos\phi\ \cos\theta & -r\ \sin\phi\ \sin\theta \\ \sin\phi\ \sin\theta & r\ \cos\phi\ \sin\theta & r\ \sin\phi\ \cos\theta \\ \cos\phi & -r\sin\phi & 0\ \end{array} \right] \] Detta ger oss att den infinitesimala volymen blir :: \[ dV=|\det T'|\ dr\ d\phi\ d\theta = r^2\ \sin\phi\ dr\ d\phi\ d\theta \]
Video :: Sfäriskt variabelbyte i trippelintegral