Lecture 2 :: Partialderivatan

2

Lecture :: partialderivatan
sammanfattning

Denna föreläsning introducerar begreppet partialderivata och går genom hur man beräknar den. Vi visar också hur man räknar ut högre ordningens derivater och kommenterar speciellt att de blandade partialderivatorna är lika.





Läsanvisningar::
Avsnitt i kursboken
Detta material svarar mot Adams Kapitel 12.3 och 12.4
Definition av partialderivata
Definition av partialderivan
Partialderivatan med avseende på \(x\) definieras som gränsvärdet \[ \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\text{om gränsvärdet existerar}=\frac{\partial{f}}{\partial x} \] Tolkas som: "håll \(y\) konstant och derivera som vanligt m.a.p \(x\)"
Partialderivatan med avseende på \(y\) definieras som gränsvärdet \[ \lim_{h\to 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\text{om gränsvärdet existerar}=\frac{\partial{f}}{\partial y} \] Tolkas som: "håll \(x\) konstant och derivera som vanligt m.a.p \(y\)"

Övning 1::

Visa mha gränsvärdesdefinitionen att \(\frac{\partial{f}}{\partial x}=y\) och \(\frac{\partial{f}}{\partial y}=x\) om \(f(x,y)=xy\)

Lösning ::

Vi ställer upp differenskvoten för partialderivatan m.a.p. \(x\): \[ \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{(x+h)\cdot y-xy}{h}=\cdots=y\to y,\ h\to 0 \] Man gör sedan på samma sätt för \(\frac{\partial{f}}{\partial y}\)
Video :: Introduktion till partialderivata
Manipulera partialderivatan
Exempel 1::

Här kan man i fallet \(f(x,y)=-x^2+x y-y^2\) manipulera med derivatagränsvärdena som ju är sekantlinjer i figuren.
Manipulera partialderivata
Video :: manipulera sekantlinjer
Exempel på partialderivering

Övning 2 ::

Beräkna partialderivatorna till funktionen \[ f(x,y)=x^2y+\sin xy \]

Lösning ::

Detaljerna visas i följande video. Här är svaret: \[ \frac{\partial{f}}{\partial x}=2xy+y\cos xy \] \[ \frac{\partial{f}}{\partial y}=x^2+x\cos xy \]
Video :: Exempel på hur man räknar ut partialderivatan
Exempel beräkning av andraderivatorna vid partialderivering

Övning 3 ::

Beräkna andra ordningens partialderivator till funktionen \[ f(x,y)=x^2y+\sin xy \]

Lösning ::

Detaljerna visas i videon på nästa sida. Här är svaret: \[ \frac{\partial^2{f}}{\partial x^2}= 2y-y^2\sin xy \] \[ \frac{\partial^2{f}}{\partial x \partial y}=2x+\cos xy -xy\sin xy=\frac{\partial^2{f}}{\partial y \partial x} \] \[ \frac{\partial^2{f}}{\partial y^2}=-x^2\sin xy \]
Video :: Högre ordningens derivator