Lecture 1 :: Funktioner av flera variabler och deras visualisering

1

Lecture :: intro från förkunskaper
sammanfattning

Denna föreläsning behandlar förkunskaper från framförallt linjär algebra och envariabelanalys och använder dessa för att ge en introduktion till hur dessa förkunskaper kommer in naturligt i flervariabelanalysen. I föreläsningen finns 8 stycken övningar som ni själva bör försöka lösa. Den som är otålig kan klicka fram lösningarna på uppgifterna men försök helst att lösa dem själv först. Någon uppgift (övning 6) kanske är lite mer knepig men vi kommer att gå genom detta ordentligt längre fram.

Läsanvisningar::
Avsnitt i kursboken
Denna föreläsning behandlar material från kapitel 12.1
Repetition av funktionsbegreppet
Definition av en funktion

En funktion \(f:A\to B\) är en regel som till varje element \(a\in A\) tilldelar exakt ett element \(f(a)=b\in B\).

Övning :: 1

Vilka av följande försök att definiera en styckvist definerad funktion är verkligen en funktion \(f:\underbrace{[0,3]}_{=A}\to\underbrace{\{0,1,2\}}_{=B}\): \[ f_1(x)= \begin{cases} 0 \text{ om } x\in [0,1]\\ 1 \text{ om } x\in [2,3] \end{cases}\quad f_2(x)= \begin{cases} 0 \text{ om } x\in [0,1]\\ 1 \text{ om } x\in [1,3] \end{cases}\quad f_3(x)= \begin{cases} 0 \text{ om } x\in [0,1)\\ 1 \text{ om } x\in [1,3] \end{cases} \]

Lösning ::

  1. \(f_1\) är inte en funktion från \(A\) till \(B\) eftersom den inte är definierad för alla element i \(A\). De värden på \(x\) som ligger mellan \(1\) och \(2\) har odefinierade värden.
  2. \(f_2\) är inte heller en funktion eftersom \(x=1\) avbildas på både \(0\) och \(1\). \(f\) är alltså inte väldefinierad.
  3. \(f_3\) är verkligen en funktion eftersom alla \(x\in A\) avbildas på ett värde i \(B\).
Video :: funktioner och grafer (repetition)
Grafen till en funktion, repetition.
Grafen till en funktion:

Grafen till en funktion \(f:A\to B\) är alla punkter \((a,b)\in A\times B\) sådan att \(b=f(a)\). Dvs grafen till \(f\) är mängden \[ G_f=\{(a,b): b=f(a)\} \] T.ex. så är grafen till \(y=x^2\) är mängden \(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=x^2\}\)

Övning 2 ::

Vilka av följande kurvor i \(xy\)-planet är grafen till en funktion vilka kurvor kan vara en graf?

Lösning ::

kurvan C. kan vara grafen till en funktion
För att vara en graf så krävs det att det finns exakt en punkt på kurvan ovanför varje värde på x. Detta utesluter både kurvan i A och cirkeln i B. Kurvan i C är alltså den enda av våra kurvor som är grafen till en funktion.
Video :: Översikt över de funktioner vi ska studera.
Reellvärda funktioner av flera variabler och deras grafer
Grafen till flervariabelfunktioner.

När vi har en funktion \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) så definierar vi grafen som \[ G_f=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=f(x,y)\} \] som alltså är en delmängd av det tredimensionella rummet och kan därför visualiseras i 3D. Om vi i stället tar en funktion \(g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\) så blir grafen en delmängd av ett fyrdimensionellt rum: \[ G_g=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4: w=g(x,y,z)\} \] Denna mängd kan inte visualiseras fullständigt eftersom vi lever i en värld som är en rumsdimension kort. Visualisering av sådana funktioner kräver andra metoder. Till en början så kommer vi därför att koncentrera oss att lära oss olika metoder att visualisera funktioner av två variabler.

Övning 3::

Rita grafen till \(f(x,y)=x^2+y^2\)

Lösning ::

För \(y=0\) så blir grafen en parabelkurva \(z=x^2\) och för \(x=0\) så får vi parabeln \(z=y^2\). För ett fixt värde på \(z\), t.ex. \(z=1\) så har vi ekvationen \(z=1=x^2+y^2\) och blir följdaktligen en cirkel. Detta kan man hjälpligt rita för hand. grafen blir en paraboloid
Video :: Hur man visualiserar funktioner med Mathematica
Nivåkurvor
Nivåkurvor till tvåvariabelfunktioner

Mängden \[ N_a=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : f(x,y)=a\} \] kallas för en nivåkurva för funktionen \(f\). Nivån är \(a\). Alla har vi stött på nivåkurvor i form av höjdkurvor när vi studerat topografiska kartor. Från höjdkurvorna är det ganska enkelt att visualiera bergstoppar, dalgångar och annat intressant. Genom att rita nivåkurvorna för en funktion så får vi alltså en topografisk karta av funktionen och dra nytta av den intuition som vi byggt upp genom att titta på vanliga kartor.


topografisk karta över marianergraven

Övning 4::

Beräkna nivåkurvorna till funktionen \(f(x,y)=x^2+y^2\)

Lösning ::

Nivåkurvan för nivån \(f(x,y)=c\) ges av ekvationen \[ x^2+y^2=c \] Eftersom kvadrater av reella tal aldrig kan vara negativa så finns inga nivåkurvor om \(c<0\). Om \(c=0\) så består nivåkurvan av punkten \((x,y)=(0,0)\). För ett positivt värde på \(c\) så blir nivåkurvorna cirklar centrerade i origo.
Video :: Grafer och Nivåkurvor (och nivåytor)