001:: Visualisering av Funktioner i Flera Variabler

Mikael Forsberg

Att kunna visualisera funktioner i flera variabler underlättar inlärning och förståelse för analys i flera variabler. I detta dokument visas hur man kan använda Mathematica för att rita upp funktionernas grafer, rita nivåkurvor och annat som man behöver göra i flervariabelanalysen.

2013 01 16

Rita grafen till en funktion av två variabler

Plot3D

Som exempel på hur man kan plotta grafen till en tvåvariabelfunktion så använder vi funktionen

f(x,y)=Sin[xy]

Med Plot3D kan vi rita upp funktionens graf över ett utsnitt av xy-planet:

Plot3D[
Sin[x*y],(* här är funktionen som vi vill plotta *)
{x,0,Pi},(* här anges vilka x-värden som gäller *)
{y,0,Pi}    (* och här anges y-värdena *)
]

Här följer en variant av grafen där vi plottar nivåkurvor (höjdkurvor) på grafen i stället för linjer som är parallella med x och y axlarna (vilket är default)

Plot3D[
Sin[x* y],
{x,0,π},
{y,0,π},
MeshFunctions->{#3&}(* här anges att variabel #3 (dvs z) ska användas för nivåer *)
]

Notera att man kan vrida och vända på grafen genom att klicka och dra med muspekaren ...

Plottning av Nivåkurvor

ContourPlot

ContourPlot används för att plotta nivåkurvorna för en funktion i två variabler. För vår exempelfunktion har vi

ContourPlot[Sin[x*y],
{x, 0,Pi},
{y,0,Pi}
]

Som man kan se från denna bild så anger Mathematica inte vilka värden som gäller för nivåkurvorna och heller inte vilken ekvidistans som är aktuell.  Man kan komma runt detta genom att använda ett tilläggskommando:

ContourPlot[Sin[x*y],
{x, 0,Pi},
{y,0,Pi},
PlotLegends->Automatic (* här skapas en nivåförklaring *)
]

Övningsuppgifter

G(x,y)=(x^2)-3xy- 2(y^2)+x-y+2

H(x,y)=((2xy)/((x^2)+(y^2)))